存储论

存储论

基本概念

存储问题的费用：

• 生产费：
  • 订购费：与订货次数有关，一般固定
  • 货物成本费：与订货数量有关，一般变动
• 生产费
  • 装配费：与生产次数有关，一般固定
  • 生产成本费：与生产数量有关，一般变动
• 存储费
• 缺货费

储存模型：

• 需求是否确定：确定型存储模型，随机型存储模型
• 订货还是生产：批量订货（备货时间短），批量生产（生产需时间）
• 允不允许缺货：允许缺货，不允许缺货

不允许缺货、瞬时到货模型（经济订货批量模型）

模型基本假设

1. 不允许缺货，缺货费正无穷
2. 存储量为零时，可立即得到补充
3. 需求是连续均匀的，需求速度为常数 $R$
4. 每次订货量不变，订购费不变
5. 单位时间的存储

模型计算

假设每次订货的订购费用为 $c_3$

假设 $货物成本费 = 成本费单价 \times 订货量=KQ=KRt$

其中 $K$ 为货物成本费单价，$Q$ 为订货量，$R$ 为需求速度，$t$ 为每间隔时间 $t$ 补充一次存储

存储费：$t$ 时间内的平均存储量：$\frac{1}{2}Q = \frac{1}{2}Rt$，我们在这里假设单位时间内单位货物存储费为 $c_1$

怎么来的呢？求积分得到上面的式子的：$\dfrac{存储量之和}{t} = \dfrac{\int_{0}^{t}RT\,dT}{t} = \dfrac{1}{2}Rt$

那么我们的 $t$ 时间内的总平均费用（一般省略 $KR$）：

$$C(t)=\frac{c_3}{t} + KR + \frac{1}{2}Rtc_1$$

我们用这个式子对 $t$ 求一次导数，求极值点

得到最优订货周期为：$t_0 = \sqrt{\dfrac{2c_3}{c_1R}}$

最优订货量：$Q_0 = Rt_0 = \sqrt{\dfrac{2c_3R}{c_1}}$

不允许缺货，逐步均匀到货模型

模型基本假设

1. 不允许缺货，缺货费正无穷
2. 存储量为零时开始生产，生产速度为常数 $P$
3. 需求是连续均匀的，需求速度为常数 $R$
4. 每次订货量不变，装配费不变
5. 单位时间的存储费不变

模型计算

首先假设每次生产的装配费用为 $c_3$，那么 $t$ 时间内平均装配费为 $\frac{c_3}{t}$

$t$ 时间内的平均存储量为：$\frac{1}{2}(P-R)t_1$，其中 $t_1$ 是所需生产时间

我们用 $t \to t_0$，那么平均储存费就等于 $\dfrac{c_1R(P-R)}{2P}t$

那么将两个加在一起就是总平均费用：

$$C(t) = \frac{c_3}{t} + \frac{c_1 R(P-R)}{2P} t$$

求极值点，那么可得最优周期为：$t_0 = \sqrt{\dfrac{2c_3P}{c_1 R (P - R)}}$

最优生产量为：$Q_0 = \sqrt{\dfrac{2c_3PR}{c_1(P-R)}}$

最小总平均费用为：$C_0 = \sqrt{2c_1c_3R\dfrac{P-R}{P}}$

允许缺货，瞬时到货模型

模型基本假设

1. 允许缺货
2. 备货时间很短，可立即得到补充
3. 需求是连续均匀的，需求速度为常数 $R$
4. 每次订货量不变，订购费不变
5. 单位时间内的存储费不变

模型计算

我们只算一个周期 $t$ 的一个费用。

假设每次订货的订购费用为 $c_3$， 单位存储费为 $c_1$

那么储存费为 $\frac{1}{2}c_1\frac{S^2}{R}$，其中 $S = Rt_1$，$t_1$ 表示有货的那段时间

假设单位时间内单位物品缺货费为 $c_2$

那么总缺货费为 $\frac{1}{2} c_2 \frac{(Rt- S)^2}{R}$

那么我们总的费用就是三项加起来：

$$C(t) = \frac{1}{2}c_1\frac{S^2}{R}+\frac{1}{2}c_2\frac{(Rt-S)^2}{R}+c_3$$

多元函数求极值，得到最优周期为：$t_0 = \sqrt{\dfrac{2c_3(c_1+c_2)}{c_1c_2R}}$

最大存储量：$S_0 = \sqrt{\dfrac{2c_2c_3R}{c_1(c_1+c_2)}}$

最优进货量：$Q_0 = \sqrt{\dfrac{2Rc_3(c_1+c_2)}{c_1c_2}}$

最小总平均费用：$C_0 = \sqrt{\dfrac{2c_1c_2c_3R}{c_1 + c_2}}$

观察第一个模型与这个的区别，其实可以发现其实第一个的式子就是这个的特殊情况，将$c_2\to +\infty,\dfrac{c_2}{c_1+c_3} \to 1$ 加上。

允许缺货，逐步均匀到货模型

模型基本假设

1. 允许缺货
2. 生产需一定时间，生产速度为常数 $P$
3. 需求是连续均匀的，需求速度为常数 $R$
4. 每次订货量不变，装配费不变
5. 单位时间的存储费不变

首先假设每次生产的装配费用为 $c_3$，单位时间内单位物品缺货费为 $c_2$，那么 $t$ 时间内平均装配费为 $\frac{c_3}{t}$，其中 $t_2$ 表示从开始到库存里有货这一段时间

$t$ 时间内的总存储费为：$\dfrac{1}{2}c_1\dfrac{R(P-R)}{P}(t-t_2)^2$

$t$ 时间内的总缺货费：$\dfrac{1}{2}c_2\dfrac{R(P-R)}{P}t_2^2$

那么我们总的费用就是三项加起来：

$$C(t) = \frac{1}{2}c_1\frac{R(P-R)}{P}(t-t_2)^2+\frac{1}{2}c_2\frac{R(P-R)}{P}t_2^2+c_3$$

多元函数求极值，可得最优生产量为：$Q_0 = \sqrt{\dfrac{2c_3(c_1+c_2)PR}{c_1c_2(P-R)}}$

最大储存量为：$S_0 = \sqrt{\dfrac{2c_2c_3R(P-R)}{c_1(c_1+c_2)P}}$

最小总平均费用：$C_0 = \sqrt{\dfrac{2c_1c_2c_3R(P-R)}{c_1(c_1+c_2)P}}$

最大缺货量：$B_0 = \sqrt{\dfrac{2c_1c_3R(P-R)}{c_2(c_1+c_2)P}}$