线性规划基础

线性规划是统筹学中最重要的一种系统优化方案，引用领域十分广泛，包括生产计划、物资调运、任务分配、资源优化配置、经济规划等问题。也有许多线性规划的应用，我们这里就用COPT的规划求解器去学习使用。

线性规划的基本定义

一般形式为：

$\max (\min) z = c_1x_1+c_2x_2+ \cdots +c_nx_n$

$s.t. \begin{cases} a{11}x_1+a{12}x2+\cdots + c{1n}xn = b_1 \ a{21}x1 + a{22}x2 + \cdots+c{2n}x_n = b_2 \ \cdots \ x_1,x_2,x_3\cdots x_n \geq 0 \end{cases}$

其中$\max (\min) z = c_1x_1+c_2x_2+ \cdots +c_nx_n$ 称为目标函数，

$a{11}x_1+a{12}x2+\cdots + c{1n}xn = b_1 \ a{21}x1 + a{22}x2 + \cdots+c{2n}x_n = b_2$ 称为约束条件，这里的=号，可以更换成$\leq \ \geq \ \neq$

$x_1,x_2,x_3\cdots x_n \geq 0$ 称为非负约束。

线性规划问题可以由向量和矩阵表示：

$\max(\min) z = C^T X \ s.t. \begin{cases} AX \leq(=,\geq) \ b \ X \geq 0 \end{cases}$

对于正常的解法，单纯形法等方法，不在介绍，直接上COPT怎么用。

COPT如何解决线性规划

"""
题目：某加工厂需要加工一批圆钢调料，规格为70cm,52cm,35cm，这三种圆钢条料的需要量为100条，150条，900条
库房库存一批长 180cm 的圆钢坯料，先对圆钢坯料进行切割。
问：如何下料，使总余料最少。
"""	
import coptpy as cp
from coptpy import COPT

env = cp.Envr() 	
model = env.createModel("eg2")	# 搭建环境

x1 = model.addVar(lb=0, name="x1") 			# 定义变量，参数lb为下界，ub为上界
x2 = model.addVar(lb=0, name="x2")			# vtype为变量类型COPT.CONTINUOUS连续型变量，COPT.BINARY二进制变量
x3 = model.addVar(lb=0, name="x3")			# COPT.INTEGER 为整数变量
x4 = model.addVar(lb=0, name="x4")
x5 = model.addVar(lb=0, name="x5")
x6 = model.addVar(lb=0, name="x6")
x7 = model.addVar(lb=0, name="x7")
x8 = model.addVar(lb=0, name="x8")

model.addConstr(2*x1 + x2 + x3 + x4 >= 100)		# 给出约束条件
model.addConstr(2*x2 + x3 + 3*x5 + 2*x6 + x7 >= 150)
model.addConstr(x1 + 3*x3 + 2*x6 + 3*x7 + 5*x8 >= 900)

model.setObjective(5*x1 + 6*x2 + 23*x3 + 5*x4 + 24*x5 + 6*x6 + 23*x7 + 5*x8, sense=COPT.MINIMIZE)
# 设置目标函数 setObjective(expr, sense=None)，expr为表达式，sense为目标函数的优化方向，有MAXIMIZE和MINIMIZE

model.solve()
# 解线性规划

if model.status == COPT.OPTIMAL: 		# 输出规划中的一些变量值
  print("Objective value: {}".format(model.objval))
  allvars = model.getVars()

  print("Variable solution:")
  for var in allvars:
    print(" x[{0}]: {1}".format(var.index, var.x))

  print("Variable basis status:")
  for var in allvars:
    print(" x[{0}]: {1}".format(var.index, var.basis))

整数规划

跟线性规划没有什么差距，就只是将连续型的变量变成了离散的，只能取整数 COPT.INTEGER。

所有变量全取整数的规划叫纯整数规划，部分变量取整数的规划称为混合整数规划。所有变量都取0,1两个值的规划叫0-1规划，部分的叫0-1混合规划。

指示约束

指示约束（Indicator Constraints）是一类特殊的约束，通常用于涉及二进制变量的优化问题中。这类约束帮助我们通过控制一个二进制决策变量的状态（是 0 还是 1）来影响其他变量或约束的行为。

1. If-Then 约束：这个约束表示如果某个条件为真，那么另一个条件也必须成立。这个约束的意思是：如果某个条件为真，那么另一个条件必须也为真
2. Only-If 约束：只有当第二个条件为真时，第一个条件才能成立。“只有当 B 成立时，A 才能成立“
3. If-and-Only-If 约束：两个条件互为必要且充分条件，即一个条件成立时，另一个条件必定成立，反之亦然。